Traceur de distribution normale (gaussienne)

La distribution normale ou distribution de Gauss (d'après Carl Friedrich Gauss) est un type important de distribution de probabilité continue en stochastique. Sa fonction de densité de probabilité est également appelée fonction gaussienne, distribution normale gaussienne, courbe de distribution gaussienne, courbe gaussienne, courbe en cloche gaussienne, fonction en cloche gaussienne, cloche gaussienne ou simplement courbe en cloche.

La distribution normale ou de Gauss est définie comme suit:

$f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} \frac{{(x - μ)}^{2}}{σ^{2}}}$

Le graphique de cette fonction de densité a une forme de "cloche" et est symétrique autour du paramètre μ comme centre de symétrie, qui représente également la valeur attendue, la médiane et le mode de la distribution.

Tracé de la fonction de distribution gaussienne

Les curseurs situés dans la partie inférieure du graphique permettent de faire varier les paramètres de la distribution de Gauss. La plage de paramètres ajustables peut être spécifiée dans les champs numériques. Les points rouges de la courbe en cloche peuvent être déplacés. L'intégrale de la courbe en cloche est calculée pour l'intervalle entre les points. Comme la surface totale de la distribution de Gauss est normalisée à un, l'intégrale correspond à la fraction de surface. Cela signifie, par exemple, que si les points sont fixés à ±σ, l'aire est de 0,68 ou 68 % de l'aire totale.

f(x)

f′(x)

2σ

Zone:

Points:

Plages d'axes

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Plages de paramètres

μ-min=

μ-max=

σ-min=

σ-max=

μ et σ sont les paramètres de la distribution normale. En μ se trouve le centre de la distribution et la courbe en cloche y prend son maximum. Les points d'inflexion de la fonction sont situés à une distance ±σ du centre de symétrie.

Pour les variables aléatoires qui sont normalement distribuées, la règle suivante s'applique:

Dans l'intervalle de l'écart ±σ par rapport à la valeur moyenne, on trouve μ 68,27 % de toutes les valeurs mesurées.
Dans l'intervalle de l'écart ±2σ par rapport à la valeur moyenne μ 95,45 % de toutes les valeurs mesurées peuvent être trouvées.
Dans l'intervalle de l'écart ±3σ par rapport à la valeur moyenne μ 99,73 % de toutes les valeurs mesurées peuvent être trouvées.

50 % de toutes les valeurs mesurées présentent un écart de 0,675σ maximum par rapport à la valeur moyenne μ.
90 % de toutes les valeurs mesurées présentent un écart de 1,645σ maximum par rapport à la valeur moyenne μ.
95 % de toutes les valeurs mesurées présentent un écart de 1,960σ maximum par rapport à la valeur moyenne μ.
99 % de toutes les valeurs mesurées présentent un écart de 2,576σ maximum par rapport à la valeur moyenne μ.

Ajustement de la distribution gaussienne aux valeurs mesurées

Courbe

Points:

2σ

3σ

50% Zone

Plages d'axes

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Une entrée alternative est possible avec le chargement des données depuis un fichier. Les valeurs peuvent être séparées par des virgules, des espaces ou des points-virgules. Les valeurs doivent être données par paire x₁,y₁,x₂,y₂...

Charger à partir d'un fichier:

L'ajustement de la courbe de la distribution gaussienne aux valeurs mesurées se fait par le calcul de la moyenne pondérée des valeurs mesurées. La moyenne pondérée correspond à la valeur &mu ; de la distribution gaussienne. L'écart-type des valeurs mesurées par rapport à la moyenne &mu ; est le &sigma ; dans la formule de la distribution normale.

$μ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}$

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}}}$

La courbe en cloche affichée est la distribution gaussienne ajustée multipliée par la zone A des valeurs mesurées.

$f (x) = \frac{A}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} \frac{{(x - μ)}^{2}}{σ^{2}}}$

La surface A est calculée par la formule du trapèze.

$A = \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{(x_{i + 1} - x_{i}) (y_{i + 1} + y_{i})}{2}$

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